Los sistemas lineales son un subconjunto del campo de los sistemas. Su importancia está en la unión de dos elementos: numerosos sistemas pueden constituirse por formas lineales de razonable constancia y hay fuertes elementos para analizar y sintetizar este tipo de sistemas.
Se considera un sistema S, como se observa en esta ecuación:
y(t) = Thx(to), u(t)i ∀t ≥ to
El Th◦, ◦i es un operador que detalla formalmente la dependencia que la salida y (t) tiene del estado inicial, x (to), y de la entrada u (t). Este operador puede ser cambiante en el tiempo.
Además el sistema puede cumplir con:
- y1x(t) = Th (x1(to), 0i ∀t) ≥ to
- y1u(t) = Th (0, u1(t)i ∀t) ≥ to
- y2x(t) = Th (x2(to), 0i ∀t) ≥ to
- y2u(t) = Th (0, u2(t)i ∀t) ≥ to
Donde x1(to) y x2(to), son dos vectores de estado que comienza arbitrarios y u1(t) y u2(t) son dos vectores de acceso arbitrarios.
Por lo tanto el sistema es lineal si y solo si:
y(t) = Th(α1×1(to) + α2×2(to), β1u1(t) + β2u2(t)i ∀t ≥ to )
= α1Th (x1(to), 0) + α2Th(x2(to), 0) + β1Th(0, u1(t)) + β2Th0(, u2(t))
= α1 y1x(t) + α2y2x(t) + β1y1u(t) + β2y2u(t)
Para todo grupo de constantes α1, α2, β1 y β2.
Los sistemas lineales tienen dos propiedades importantes que la describen, tales como superposición y homogeneidad.
La propiedad de superposición: se define como la salida del sistema que se calcula separando los efectos de elementos del estado o los de la salida, después sumando las respuestas a cada uno de esos elementos.
Existen tres formas en que se puede presentar la superposición:
- Superposición de la entrada y el estado que inicia, es decir, T(x(to), u(t)) = T(x(to), 0) + T(0, u(t)
- Superposición de componentes del estado que inicia, es decir, T(x1(to) + x2(to), 0i = T(x1(to), 0i + T(x2(to), 0
- Superposición de componentes de la entrada, es decir, T(0, u1(t) + u2(t)) = T(0, u1(t)) + T(0, u2(t))
La homogeneidad se describe en que la proporcionalidad en la entrada o el estado se propagan a la salida sin alteración, es decir:
- T(αxo, 0) = αT(xo, 0)
- T(0, βu(t)) = βT(0, u(t))
La primera ecuación explica la homogeneidad acerca del estado inicial, entretanto la segunda ecuación explica la homogeneidad acerca de la entrada.
Para los sistemas algebraicos las propiedades de homogeneidad y superposición se emplean sólo a la entrada del sistema, es decir:
y(t) = T(β1u1(t) + β2u2(t)) = β1T(u1(t)) + β2T(u2(t))
Las propiedades de linealidad permiten calcular la causa de una combinación lineal de entradas y estados iniciales como la composición lineal de sus derivaciones individuales.
Un sistema algebraico cuyo vínculo es entrada-salida está dada por:
- Resorte ideal: La relación de la fuerza con el desplazamiento es lineal en un resorte ideal.
- Resorte real: es solo un sector alrededor del principio es lineal.
Numerosas operaciones de sistemas no lineales, se debe linealizar alrededor del punto de operación con una recta de pendiente m; y para las mínimas variaciones se debe linealizar por las señales de entrada y salida.
Flujo por un orificio donde el área es continúo:
Δq = mΔ p − (p1-p2)
La ecuación linealizada para el flujo por un orificio donde las dos variables pueden variar:
Δq = m1ΔA+ m2Δ (p1 − p2)
