El análisis funcional es una especialidad de la matemática y particularmente del análisis sobre los espacios de funciones. Su historia se remonta a las investigaciones de cambios, por ejemplo, las transformaciones de Fourier y las ecuaciones diferenciales e integrales. El término funcional se refiere al cálculo de variaciones. Actualmente, el análisis funcional implica el estudio de los espacios vectoriales normados completos sobre los complejos o reales. Los espacios son denominados Espacios de Banach y de Hilbert.
El propósito principal del análisis funcional son los operadores lineales constantes establecidos en los espacios de Banach y de Hilbert.
De los Espacios Vectoriales a los Espacios Normados
Los espacios vectoriales están definidos encima de los números reales R o encima de los números complejos C, y K indicará a cualquiera de estos dos cuerpos equitativamente. Cuando aparezcan varios espacios vectoriales vinculados, se entenderá que todos están definidos sobre el mismo cuerpo. Si α ∈ K por lo tanto |α| indicará el valor absoluto o el módulo de α dependiendo si K es R o C, correspondientemente.
Espacios Vectoriales de Dimensión Arbitraria
Un espacio vectorial referente a K, es un conjunto no vacío X encontrado con dos aplicaciones + : X × X −→ X (x, y) 7→ x + y : K × X −→ X (α, x) 7→ αx entonces para todo x, y, z ∈ X y también α, β ∈ K se comprueban los siguientes axiomas:
- (x + y) + z = x + (y + z);
- x + y = y + x;
- Está un elemento O ∈ X, denominado neutro o cero, tal que O + x = x;
- Para cada x ∈ X está un elemento −x ∈ X, denominado opuesto de x, tal que x + (−x) = O;
- α(x + y) = αx + αy;
- (α + β)x = αx + βx;
- (αβ)x = α(βx);
- 1x = x.
Los elementos de un espacio vectorial X se llaman vectores, mientras que los elementos del cuerpo K se llaman escalares.
Dado un subconjunto M de un espacio vectorial X, M es un subespacio vectorial de X si, y sólo si, para cualquier x, y ∈ M, α, β ∈ K se satisface que αx+βy ∈ M. Es indiscutible que M con las operaciones inducidas de X es un espacio vectorial.
Sea A un subconjunto no vacío de un espacio vectorial X. Se considera la familia de todos los subespacios vectoriales que lo contienen. Es fácil comprobar que la intersección de los elementos de dicha familia es el menor subespacio vectorial de X que comprende al conjunto A. Dicho subespacio es nombrado envolvente lineal de A, se simboliza por Lin(A) y es fácil probar que:
Lin(A) = {λ1×1 + . . . + λnxn : n ∈ N, x1, . . . , xn ∈ A, λ1, . . . , λn ∈ K}.
A es algebraicamente libre o linealmente autónomo si en la expresión
α1×1 + . . . + αnxn = 0,
Con n ∈ N, α1, . . . , αn ∈ K y x1, . . . , xn ∈ A, es obligado que α1 = . . . = αn = 0.
Un subconjunto B de un espacio vectorial X es una base algebraica o base de Hamel de X si B es un subconjunto no vacío y linealmente autónomo comprobando que Lin(B) = X.
Se puede comprobar que todo subconjunto no vacío y linealmente autónomo de un espacio vectorial está comprendido en una Base de Hamel de dicho espacio.
