En la ciencia de la matemática la derivada de una función se refiere al límite que mide la rapidez con la que cambia el incremento de la función matemática como al de la variable. La derivada de una función en un punto constituye el valor de la pendiente de la recta tangente en el nombrado punto y mide el coeficiente en el que cambia la función. El coeficiente mostrará lo rápido que disminuye una función en un punto con relación al eje de un plano cartesiano de dos superficies.
La función derivada de una función f(x) es la que relaciona a cada número real su derivada si existe y se representa por f'(x). Por ejemplo:
- f(x)= 5
R. f'(x)= 0 - f(x)= -2x
R. f'(x)= -2 - f(x)= -2x+2
R. f'(x)= -2 - f(x)= -2×2 -5
R. f'(x)= -4x - f(x)= 2×2 +x3-x2+4
R. f'(x)= 8×3+ 3×2-2x
El objetivo de la derivada es que proporciona observar mediante la pendiente en todo punto de la curva, la evolución y lo que varía en los fenómenos físicos, también permite calcular los puntos específicos donde la pendiente es cero (0) máximos y mínimos para investigar los óptimos. En la electrónica, electricidad, química y en la física la derivada permite examinar los fenómenos evolutivos relacionados con la aceleración, los flujos, la velocidad y el movimiento. De igual forma se utiliza en la biología, economía, arquitectura y la sociología la derivada se encuentra presente.
El jurista y matemático francés Pierre de Fermat fue el primero en fundar el uso de la derivada aplicándola en el estudio de puntos máximos y mínimos en curva, pero Isaac Newton fue quien la incluyó en un sistema matemático que la denominó cálculo integral y diferencial.
Las derivadas pueden calcularse utilizando la definición de derivada como límite, existen normas constituidas llamadas teoremas para el cálculo de las derivadas que permite calcular varias funciones depende a su forma sin tener que calcular precisamente el límite.
Teoremas para el Cálculo de la Derivada
La definición de la derivada en representación de límites se utiliza para señalar las reglas de diferenciación. Estas reglas permiten calcular la derivada de una función mediante una manipulación algebraica en vez de usar la aplicación directa del cociente diferencial de Newton.
- Regla de la constante: La derivada de cualquier constante es cero.
- Regla de la multiplicación por una constante: Si c es cualquier número real, entonces la derivada de cf (x), es igual a c multiplicado por la derivada de f (x). Esto es una consecuencia de la linealidad.
- Linealidad: (af (x)+bg (x)) ‘= af’ (x)+ bg'(x) para todas las funciones f y g y todos los números reales a y b.
- Regla general de la potencia (regla de polinomio): Si f (x)= xr para todo r real, entonces f'(x)= rxr-1
- Regla del producto: (fg)’= f’g+ fg ‘ para todas las funciones f y g.
- Regla de cadena: Si f (x) = h(g(x)) entonces f’ (x)= h’ (g (x)) *g'(x)
