Se dice que una ecuación diferencial es una ecuación matemática que vincula una función con sus derivadas. Por lo tanto, en las matemática aplicadas, las funciones prácticamente representan cantidades físicas, las derivadas simbolizan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Cómo estas relaciones son muy frecuentes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol fundamental en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología.
Asimismo, en las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian y analizan desde perspectivas diferentes, la mayoría referentes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden solucionar por medio de fórmulas explícitas, sin embargo, se pueden establecer algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin encontrar su forma exacta.
Es importante saber que si la solución exacta no puede encontrarse, esta puede conseguirse numéricamente, a través de una aproximación utilizando computadoras. La teoría de métodos dinámicos hace hincapié en la observación cualificativo de los métodos puntualizados por ecuaciones diferenciales, mientras que muchas técnicas numéricas han sido desarrolladas para establecer soluciones con cierto valor de precisión.
Según la historia, las ecuaciones diferenciales surgieron por primera vez en los trabajos de cálculo de Newton y Leibniz específicamente en el año 1671, en el capítulo dos de su trabajo método de las fluxiones y series infinitas, Isaac Newton creó una lista de tres clases de ecuaciones diferenciales. Este importante personaje resolvió estas ecuaciones y otras utilizando series infinitas y discutió la no unicidad de las soluciones. Por otra parte, hay que indicar que las ecuaciones diferenciales estocásticas, que extienden tanto la teoría de las ecuaciones diferenciales como la hipótesis de la verosimilitud, fueron incluidas con un método riguroso por Kiyoshi Itō y Ruslán Stratónovich durante los años 1940 y 1950.
Ahora bien, las ecuaciones diferenciales pueden fraccionarse en varios tipos. Aparte de detallar las propiedades de la ecuación en sí, las clases de las ecuaciones diferenciales pueden ayudar a investigar la elección de la aproximación a una solución. Es muy usual que estas distinciones incluyen si la ecuación es: Ordinaria/Derivadas Parciales, Lineal/No lineal, y Homogénea.
Esta lista es demasiado larga; hay muchas otras propiedades y subclases de ecuaciones diferenciales las cuales pueden ser muy lucrativas en contextos determinados:
- Ecuación diferencial ordinaria (EDO): es una ecuación que tiene una función de una inconstante independiente y sus derivadas. El término “ordinaria” se utiliza en oposición con la ecuación en derivadas parciales la cual puede ser respecto a más de una variable independiente.
- Ecuaciones diferenciales lineales: son aquellas que tienen soluciones que pueden sumarse y ser multiplicadas por coeficientes, se encuentran bien definidas y comprendidas, y poseen soluciones exactas que pueden encontrarse. En contraste, las EDOs cuyas solucion–es no pueden sumarse son no lineales, y su solución es más confusa, y muy pocas veces pueden encontrarse en forma puntual de funciones elementales: las soluciones suelen adquirirse en forma de sucesiones o forma integral. Los procesos numéricos y gráficos para EDOs, pueden efectuarse manualmente o a través de computadoras, se pueden acercar las soluciones de las EDOs y su derivación puede ser muy útil, muchas veces suficientes como para prescindir de la solución exacta y analítica.
- Ecuaciones diferenciales no lineales: se dice que hay muy pocas técnicas para solucionar ecuaciones diferenciales no lineales en forma exacta; además es muy común que dependan de la ecuación teniendo simetrías particulares. Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden presentar un comportamiento muy complejo en intervalos grandes de tiempo, característica del caos.
- Ecuaciones diferenciales homogéneas: las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas principalmente son una subclase de las ecuaciones diferenciales lineales para la cual el área de soluciones es un subespacio lineal, es decir, la suma de cualquier conjunto de soluciones o múltiplos de soluciones, es también una solución. Por lo tanto, los factores de la función desconocida, y sus derivadas en una ecuación diferencial lineal pueden ser funciones de la variable o variables independientes, si estos factores son constantes, entonces se habla de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes.
