En el área de las matemáticas, una ecuación integral es una ecuación en que la función incógnita surge dentro de una integral. Por lo tanto hay una conexión precisa entre las ecuaciones integrales y las ecuaciones diferenciales, y de hecho algunos problemas pueden expresarse como ecuación diferencial o igualmente como ecuación integral. Para ejemplificar esto se recomienda que analice el modelo de Maxwell de viscoelasticidad.
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Se debe señalar dentro de este tema que las ecuaciones integrales se especifican según tres criterios dicotómicos que mezclados dan ocho tipos de ecuaciones diferentes:
- Límites de incorporación: los dos seguros (ecuación integral de Fredholm), uno de ellos variable (ecuación integral de Volterra).
- Lugar donde aparece la función incógnita: solamente adentro de la integral (ecuación integral de la principal lección), tanto dentro de la integral como fuera (ecuación integral de segunda clase).
- Homogeneidad, según f sea o no nula: si f es justamente nula (ecuación integral homogénea). Si f no es nula (ecuación integral inhomogénea).
Otro aspecto relevante en este tema, es que las ecuaciones integrales son importantes en muchas aplicaciones. Los problemas en los que surgen ecuaciones integrales contienen los problemas de transmisión de energía por radiación, el problema de vibraciones de una cuerda o una membrana, los problemas de viscoelasticidad y algunos problemas de áreas electromagnéticos. Algunos de estos otros problemas también pueden plantearse en términos de ecuaciones diferenciales. Por tanto, las ecuaciones de Volterra como las de Fredholm, son modelos de ecuaciones integrales lineales, debido a la linealidad de la integral respecto a la función incógnita φ(x) situada bajo la integral.
Ecuaciones Diferenciales Reducidas a Ecuaciones Integrales
La enunciación de muchos problemas matemáticos y físicos puede diseñarse claramente en forma de ecuación integral. Incluso en ocasiones puede interesar cambiar una ecuación diferencial en una ecuación integral equivalente, con la ventaja de que la ecuación integral, además de contener las situaciones de contorno, manipula un operador acotado (de hecho, frecuentemente, un operador compacto), mientras que el operador diferencial era en general no acotado. Esto último permite echar mano de diferentes resultados conocidos para operadores compactos para solucionar un problema proyectado en términos de ecuaciones integrales.
Es necesario y muy importante que las personas sepan que la solución de la integración, debe estar en competencia de las variables únicas por lo que se acostumbra a utilizar el término “restableciendo el cambio de variable” para describir el proceso a través del cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva. Es notorio como cada una de las ecuaciones es muy fundamental en el ámbito de los problemas con los números, debido a que su fórmula permite resolver problemas que se encuentran relacionados con la física, ingeniería, química, biología y la economía. Los diferentes tipos de ecuaciones pueden hacer del problema numérico algo más fácil de manejar gracias a sus métodos de estudio.
