Las funciones analiticas son operaciones lógicas de derivadas infinitas en función de una variable compleja, que se pueden representar por medio de series potenciales uniformes y convergentes a partir de un punto dado. Definición que puede ser graficada así: una función, f(z), es analítica en un punto z0 si es derivable en todos los puntos de algún entorno de z0. También se dice que una función analítica en cada uno de los puntos de un conjunto abierto S, es analítica en S, por ello se les conoce también a las funciones analíticas como funciones holomorfas.
Para su mejor entendimiento, se puede explicar de la siguiente manera: una función entera es una función analítica en todo punto excepto en z0∞. Es decir: f(x) = , n = 0. También mediante las potencias de funciones trigonométricas: sen*, cos*, tan*, etc.
Otro ejemplo: Sea f = u, iv = una función compleja definida en un conjunto abierto C del plano complejo S. Se determina que f es analítica en C, si existe y es continua la derivada f en cada punto de C.
Se dan casos en que una función posee una derivad en un punto sin que sea analítica en dicho punto. Por ejemplo: si f(z) = entonces f tiene derivadas en 0 pero carece de ella en cualquier otro punto de C.
Las funciones analíticas se pueden imaginar como si fueran un puente entre los polinomios y las funciones generales, ambos rangos incluso se toman como funciones analíticas reales o verdaderas y funciones analíticas complejas. Categorías que son parecidas en unos aspectos y diferentes en otros, cada una por su parte es infinitamente diferenciable de la otra; pero las complejas, poseen características no sostenibles por las funciones analíticas verdaderas.
La teoría de funciones de una variable compleja, o teoría de funciones analíticas, no sólo es una de las teorías matemáticas más amplias y exactas, sino que además su aplicación es muy conocida en varias ramas científicas y técnicas. Muchas ecuaciones de matemática aplicada, que aparecen en la teoría del calor, la dinámica de fluidos y la electrostática, se encuentran enlazadas a la teoría de funciones analíticas.
Luego de la definición y creación de las propiedades de las funciones elementales (exponencial, logaritmos y funciones trigonométricas) por el matemático Leonhard Euler (1707-1783) a mediados del siglo XVIII, Agustín Louis Cauchy (1789-1857) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855) impulsaron la teoría de funciones de variable compleja iniciándose el siglo XIX, convirtiéndola en una de las teorías más efectivas a lo largo de todo el siglo. Sus trabajos fueron seguidos, entre otros; por Bernhard. Riemann (1826-1866), en sus lineamientos geométricos, y por Joseph Liouville (1809-1882) y Karl. Weierstrass (1815-1897), en sus aspectos analíticos. A partir del siglo XX, las funciones analíticas han progresado, siendo las funciones más aplicadas en la resolución de variables complejas.
Ejemplos comunes de funciones de análisis que son o no analíticas:
- Cualquier polinomio (real o complejo) es una función analítica. Se refiere a que si un polinomio tiene grado n, los términos del grado mayor que n, en su serie de Taylor la extensión desaparecerán, por lo que esta serie será convergente de forma insignificante.
- La función analítica es exponencial. Una serie de Taylor de esta función no sólo converge para z suficientemente cerca de z0, sino también para todos los valores de z (real o complejo).
- Las funciones trigonométricas y logaritmos son funciones analíticas, porque se abren sobre cualquier conjunto de su dominio.
- El valor absoluto, cuando requiere ser definido en función de los números reales o números complejos, no puede operar como función analítica, porque jamás será diferenciable en 0. Las funciones definidas (funciones dadas por fórmulas diferentes en las distintas regiones) generalmente no son analíticas.
- La función del complejo conjugado no es analítica compleja, aunque sus limitaciones a la verdadera línea de análisis sea real.
Propiedades o Características de las Funciones Analíticas
- Las sumas, las multiplicaciones y las composiciones de funciones analíticas son analíticos.
- La inversa de una función analítica que no resulta del cero absoluto es analítica, como es el inverso de una función analítica inversible, cuya derivada en ninguna parte es cero (Teorema de inversión de LaGrange).
- Las funciones analíticas verdaderas o reales y complejas tienen diferencias importantes. El análisis de funciones complejas posee característica más restrictiva, pues tiene condiciones necesarias más restrictivas y las funciones analíticas complejas tienen más estructura que sus homólogos de la línea real.
- Según el Teorema de Liouville, cualquier función analítica compleja es constante siempre que sea limitada y definida en el plano complejo del conjunto. Algo claramente falso para las funciones analíticas reales.
Las propiedades básicas de las funciones analíticas, se pueden deducir más fácilmente por medio de integrales que pueden ser calculadas a lo largo de curvas del plano complejo; que se les conoce como integrales de contorno o integrales de líneas complejas. Entre las curvas tenemos: el arco, el arco de Jordán, la curva cerrada y la curva de Jordán.
