En la rama de la matemática, la geometría diferencial es el análisis de la geometría, empleando los instrumentos de estudios matemáticos y de álgebra multilineal. Los elementos de análisis de este campo son las diversidades, diferenciables y los conocimientos de gemetría de Riemman. Los estudios actuales de la geometría diferencial están vinculados con la ciencia de la física, principalmente los estudios son analizados con la teoría de la relatividad.
Tipos de Geometría Diferencial:
- Geometría diferencial de curvas: esta geometría permite los procedimientos y definiciones para estudiar las curvas simples en variedades de la geometría de Riemann, fundamentalmente en el espacio euclídeo.
- Geometría diferencial de superficies: expone las técnicas y definiciones para estudiar la geometría variedades diferenciales o de superficies de dos dimensiones introducidas en variedades de Riemann, principalmente en el espacio euclídeo.
- Geometría diferencial de variedades: una variedad es un elemento geométrico modelo en matemática, se hallan diferentes variantes usadas según el dominio específico tomando en cuenta:
- Variedades diferenciables: usadas por la teoría de los grupos de Lie, por el cálculo diferencial referente a las zonas topológicas.
- Variedades algebraicas: son proyectos que comprueban propiedades específicas.
- Variedades aritméticas: son temas determinados de variedades algebraicas, tienen más técnicas para aplicarlas con dirección a la teoría de números.
Teoría Local de Curvas
- Una curva parametrizada diferenciable es una aplicación diferenciable α : (a, b) → R3.
- Una curva parametrizada diferenciable α : (a, b) → R3 se nombra regular si α 0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I.
- Dado t ∈ (a, b), la longitud de arco de una curva parametrizada regular α : (a, b) → R3 , desde el punto t0, es decir: s(t) = Z t⌠t0 kα 0 (t)kdt.
- Una curva parametrizada α: (a, b) → R3 es denominada arco-parametrizada o de velocidad uno si α 0 (t) es un vector unitario para todo t ∈ (a, b), esto es, kα 0 (t)k = 1.
- Sea α :(a, b) → R3 una curva parametrizada por distancia de arco s ∈ I. El número ´ kα 00(s)k = κ(s) se llama la curvatura de α en s.
En puntos donde κ(s) 6= 0, está bien específico un vector unitario n(s) en la dirección α 00(s) por medio la ecuación α 00(s) = κ(s)n(s). Más aún, α” 00(s) es normal a α 0 (s), es diferenciando hα 0 (s), α 0 (s)i = 1 se obtiene hα 00(s), α 0 (s)i = 0.
Así, n(s) es normal a α 0 (s) y se nombra el vector normal en s. El plano establecido por los vectores unitarios contiguo y normal, α 0 (s) y n(s), se designa el plano osculador en s. Se indica por t(s) = α 0 (s) al vector unitario contiguo de α en s. Entonces, t 0 (s) = κ(s)n(s). El vector unitario b(s) = t(s) × n(s) es normal al plano osculador y se denomina el vector binormal en s.
Sea α: (a, b) → R3 una curva parametrizada por la distancia de arco s tal que α 00(s) 6= 0, s ∈ (a, b). El número τ(s) determinado por b 0 (s) = τ (s)n(s) se designa la torsión de α en s.
Teorema: Sea α una curva arco-parametrizada con curvatura nunca nula. Por lo tanto:
t”= κn
n”= −κt +τ b
b” = −τn (1.1)
Las ecuaciones en (1.1) son denominadas las ecuaciones de Frenet-Serret..
