Matriz

Matriz es el arreglo de números de forma ordenada en una serie de filas y columnas, donde cada elemento tiene un lugar y puede ser ubicado por su número de fila y columna. Las matrices al igual que los determinantes son herramientas de gran utilidad en el área de la matemática, ya que ellas posibilitan un eficiente ordenamiento y manejo de datos.

Las matrices se caracterizan por contener una gran variedad de estas y por su aplicación en el sistema de ecuaciones.

Qué es una matriz

Es un grupo de números, que se disponen de manera rectangular, formando filas y columnas. También se puede decir, que una matriz es una tabla rectangular de números, que se pueden sumar, restar y multiplicar de distintas maneras.

Las matrices son muy útiles para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en el registro de datos que dependen de varios parámetros. En una de esta los números se encuentran dispuestos en m filas y n columnas y encerrados en un paréntesis:

Las matrices se representan con letras mayúsculas (A, B, C,…). El número de filas por el número de columnas se le denomina dimensión de la matriz, y se denota como m x n, donde m es el número de filas y n el número de columnas, es decir, sería así A (m x n). Ejemplo:

En esta matriz se denota con A3x2, es de tres filas y dos columnas. Su dimensión es 3 x 2. Las líneas horizontales son las filas, y se enumeran de arriba hacia abajo y las líneas verticales son las columnas, y se enumeran de izquierda a derecha. A cada número que pertenece a la matriz lo llamaremos elementos y se designan por letras minúsculas con subíndices que indican la posición en la matriz.

Tipos de matriz

• Matriz rectangular: el número de filas y de columnas son diferentes.
• Matriz fila: es la matriz que posee una fila.
• Matriz columna: es la que posee una columna.
• Matriz opuesta: es la matriz que posee todos sus elementos de signo contrario a la matriz original.
• Matriz traspuesta: es la matriz que se obtiene de otra matriz al transformar las filas en columnas, la cual se denota con el superíndice “T” y su dimensión también cambia.
• Matriz cuadrada: es la que tiene igual cantidad de filas y de columnas.
• Matriz triangular superior: es la matriz cuadrada donde todos los elementos por encima de la diagonal principal son diferentes de cero y los que se encuentran por debajo son iguales a cero.
• Matriz triangular inferior: es la matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son diferentes de cero y los que están por encima son iguales a cero.
• Matriz diagonal: es aquella donde todos los números que no se encuentran en la diagonal principal son iguales a cero.
• Matriz escalar: es la matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales.
• Matriz identidad: es la matriz escalar, donde los números de la diagonal principal son todos iguales a uno.
• Matriz nula: todos los elementos que la conforman son iguales a cero.
• Matriz inversa: está solamente se calcula en matrices cuadradas. Es aquella que se denota con el superíndice en forma de apóstrofe (‘).

Operaciones y propiedades de matrices

Operaciones básicas con matrices y propiedades a continuación:

Suma de matrices

Se suman uno a uno los elementos ubicados en la misma posición y las matrices deben poseer la misma dimensión, es decir, igual cantidad de columnas y de filas. Posee las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa: (A+B) + C = A + (B+C)
• Propiedad conmutativa: A+B = B+A
• Elemento neutro o matriz cero (matriz nula): A+0 = A
• Opuesto de una matriz es igual a la matriz nula: A+(-A) = 0

Resta de matrices

Esta consiste en restar uno a uno los elementos ubicados en la misma posición y las matrices deben poseer la misma dimensión. No tienen propiedades.

Producto de dos matrices

Para multiplicar dos matrices se puede realizar solo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo de filas de la matriz de la derecha. Posee las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa: (A.B).C = A.(B.C)
• Propiedad distributiva: A.(B+C) = A.B + A.C
• Producto igual a cero: Existen dos casos: A.0 = 0 o A.B = 0

Producto de una matriz por un número

Cada uno de los elementos de la matriz se multiplican por el número, dando como resultado otra matriz de la misma dimensión. Posee las siguientes propiedades:

• Propiedad conmutativa: A.b1 = b1.A
• Propiedad asociativa: (A.b1).b2 = A.( b1b2)
• Distributiva de la adición con respecto a la multiplicación: A.(b1+b2) = (A.b1)+(A.b2)
• Distributiva de la multiplicación de un número por la suma de matrices: b1. (A+B) = (A. b1) + (B. b1)

Ejercicios de matrices

Dadas las siguientes matrices:

Hallar:
a) A + B
b) B . C
c) A – B

Preguntas Frecuentes sobre Matriz