La propiedad asociativa de la suma y de la multiplicación es una cualidad de estas, que señala que cuando hay tres o más números en estas operaciones y se asocian de distintas formas el resultado es el mismo.
Cuando aplicamos las propiedades de las diferentes operaciones del álgebra, estas nos posibilitan reducir los cálculos y a tener un mejor entendimiento de lo que estamos ejecutando, siempre y cuando se realicen los procedimientos correctos.
Definición de propiedad asociativa
La propiedad asociativa es una característica que solamente se cumple para la adición y multiplicación de las operaciones matemáticas básicas, donde el resultado es independiente de la manera en que se agrupen los términos que intervienen en la operación.
Cuando se aplica la propiedad asociativa en la suma o multiplicación, a partir de una expresión dada, se quiere verificar es que el orden como se agrupan los términos de un lado de la igualdad, no va a influir en el resultado si del otro lado de la igualdad se agrupan diferentes; es decir, su basamento es el principio de la igualdad.
El objetivo principal de la aplicación de la propiedad asociativa, al igual que la propiedad conmutativa y la propiedad distributiva es reducir la cantidad de números al ejecutar diferentes ejercicios.
Es por ello que se le considera una herramienta muy útil en álgebra, sobre todo en el cálculo de expresiones, ya que en una expresión se pueden reordenar los términos en números compatibles, quedando uno al lado del otro y de manera agrupada.
La propiedad asociativa solamente se aplica en la adición y multiplicación, no se aplica a la sustracción y división.
Propiedad asociativa de la suma
La suma es una de las operaciones o procedimientos básicos de la aritmética que consiste en juntar dos o más números en uno solo. La propiedad asociativa de la suma señala que cuando adicionamos tres o más números, la manera como se agrupan dichos números no altera el resultado de la suma.
Cuando deseamos comprobar la propiedad mencionada a partir de una expresión dada, lo que se quiere comprobar es que el orden como se agrupan los sumandos de un lado de la igualdad, no va a influir en el resultado, si del otro lado de la igualdad se agrupan diferentes.
Según la expresión algebraica la propiedad asociativa de la suma sería así:
(A + B) + C = A + (B + C)
Propiedad asociativa de la multiplicación
La multiplicación es una de las operaciones o procedimientos básicos de la aritmética que consiste en una adición sintetizada, ya que al multiplicar un número por otro número es sumar dicho número tantas veces como índica el multiplicador o factor.
Esta indica que cuando multiplicamos tres o más números, la manera como se juntan dichos números o factores, no altera el producto de la multiplicación.
Cuando deseamos comprobar la propiedad asociativa de la multiplicación, a partir de una expresión dada, lo que se quiere verificar es que el orden como se agrupan los factores de un lado de la igualdad, no va a influir en el resultado del producto, si del otro lado de la igualdad se agrupan diferentes.
Según la expresión algebraica la propiedad asociativa de la multiplicación sería así:
(A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)
Ejemplos de la propiedad asociativa
Para visualizar mejor esta propiedad a continuación explicaremos algunos ejemplos;
Aplicar la propiedad asociativa de la suma a partir de la expresión dada:
1) 5 + 4 + 8
(5 + 4) + 8 = 5 +(4 +8)
9 + 8 = 5 + 12
17 = 17
2) 225 + 303 + 680
(225 + 303) + 680 = 225 + (303 + 680)
528 + 680 = 225 + 983
1208 = 1208
3) 10 +30 +40 +95 +25
(10 + 30) + (40 + 95) + 25 = 10 + (30 + 40) + (95 + 25)
40 + 135 + 25 = 10 + 70 + 120
200 = 200
Aplicar la propiedad asociativa de la multiplicación a partir de la expresión dada
1)5 ∙4 ∙8
5 ∙ 4∙ 8 = 5 ∙ (4 ∙8)
20 ∙ 8 = 5 ∙ 32
160 = 160
2) 55 ∙ 10 ∙ 20
55 ∙ 10 ∙ 20 = 55 ∙ (10 ∙ 20)
550 ∙ 20 = 55 ∙ 200
11000 = 11000
Ejemplos donde la propiedad asociativa no se aplica en la resta y división
Ejemplo donde la propiedad asociativa no se aplica en la resta
8 – 5 – 2
(8 – 5) – 2 = 8 – (5 – 2)
3 – 2 = 8 – 3
1 = 5
Como se puede observar en el ejemplo al cambiar la agrupación de los sustraendos en la resta el resultado no es el mismo, por tal razón la propiedad no se aplica en la sustracción.
Ejemplo donde la propiedad asociativa no se aplica en la división
8 ÷ 2 ÷ 2
8 ÷ 2 ÷ 2 = 8 ÷ ( 2 ÷ 2)
4 ÷ 2 = 8 ÷ 1
2 = 8
Como se puede observar en el ejemplo al cambiar la agrupación de los dividendos en la división el resultado no es el mismo, por tal razón la propiedad no se aplica en la división.
