Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa de la suma indica que alterar el orden de los sumandos no cambia el resultado: a+b = b+a. Por su parte, la propiedad conmutativa de la multiplicación indica que cuando multiplicamos dos números independientemente del orden en el que lo hagamos, no altera el resultado de la operación.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad ampliamente usada, al igual que la propiedad asociativa y propiedad distributiva en las matemáticas desde los primeros grados de la educación básica, forma parte de las nociones algebraicas más usadas en cada instancia de estudio y en la vida cotidiana.

Definición de propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones matemáticas, de acuerdo a la cual cambiar el orden de los términos, no altera el producto de la operación o resultado. Es la famosa regla matemática desde muy temprano todo estudiante aprende: el orden de los factores no altera el producto.

En la antigüedad la conmutatividad de la suma y la multiplicación ya era conocida, sin embargo, no eran llamadas así. Se tienen hallazgos de que los egipcios utilizaban la propiedad conmutativa de la multiplicación con el objetivo de simplificar el cálculo de productos.​

En la Grecia antigua, la propiedad conmutativa de la multiplicación fue asumida por Euclides en su obra que lleva por título: Elementos. La formalización de las matemáticas dio inicio a lo que podemos llamar las matemáticas contemporáneas, las cuales se inauguraron a principios del siglo XIX.

Se fueron ampliando las nociones sobre los números (naturales, enteros, números racionales, números reales) con lo cual se extendió también el alcance de las operaciones de suma y multiplicación.

Sin embargo, en cada expansión fue preservada la conmutatividad, presente además como una propiedad inherente a muchas otras operaciones como: la suma de vectores, los polinomios, las matrices, las funciones reales, entre otras. Así como en el producto de polinomios o de funciones reales.

Tomando en cuenta la conmutatividad, por añadidura, se puede mencionar que la antípoda de la adición y la multiplicación de números es la sustracción y la división, es decir, la sustracción y la división no son operaciones conmutativas. También son operaciones no conmutativas la composición de funciones, el producto de matrices y el producto vectorial.

Hablar de conmutatividad puede tener implicaciones prácticas más allá de las operaciones matemáticas propiamente dichas. La conmutatividad o la no conmutatividad son decisivas y utilitarias en otras especialidades afines como la lógica proposicional, en operaciones de teoría de conjuntos, en varias aplicaciones físicas entre las que se pueden mencionar el principio de incertidumbre en la mecánica cuántica.

No obstante lo expresado, más allá del ámbito científico, se pueden hallar ejemplos en la vida cotidiana, donde la ejecución consecutiva de dos acciones posibilita la obtención de un resultado distinto de acuerdo con el orden en que se ejecuten.

Propiedad conmutativa de la suma

La propiedad conmutativa de la suma es una de las operaciones matemáticas básicas más utilizadas, y expresa que el orden en el que se suman dos números o factores no altera el resultado de la suma.

Podemos expresarlo de forma general para cualquier número (x) y (y) pertenecientes a los números naturales (N):

Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x

Propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el producto de varios números es el mismo independientemente del orden en el que se multipliquen.

La multiplicación es una suma abreviada donde un número (primer factor) se repite varias veces (tantas como indique el segundo factor). Mediante la propiedad conmutativa, el orden en que esto se hace no modifica el resultado que se obtendrá.

Para cualquier número (x) y (y) pertenecientes a los números naturales (N):

Propiedad conmutativa de la multiplicación: x . y = y . x

Ejemplos de la propiedad conmutativa

En las matemáticas la propiedad conmutativa nos permite reconocer que los factores que forman parte de una operación pueden cambiar el orden en el que son presentados, sin que esto suponga una alteración del resultado.

La conmutatividad es una propiedad que se aplica tanto en las sumas como en las multiplicaciones. La importancia fundamental de la propiedad conmutativa subyace en el hecho de que en la suma y la multiplicación de números naturales, los números que posibilitan el conteo de los conjuntos finitos son conmutativas.

Veamos lo dicho anteriormente expresado en ejemplos, donde (x) y (y) son cualquier número perteneciente a los números naturales (N):

  1. Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x

    En este caso ;
    4 + 3 = 3 + 4
    7 = 7

  2. Propiedad conmutativa de la multiplicación: x . y = y . x

    En este caso;
    4 x 3 = 3 x 4
    12 = 12

Es posible ampliar este tipo de operaciones del sistema de número naturales (N) al de otros sistemas como el de los números enteros (Z), los números racionales (Q), número reales (R) o los números complejos (C).

Preguntas Frecuentes sobre Propiedad conmutativa

¿Cómo se aplica la propiedad conmutativa?

La conmutatividad es una propiedad que se aplica tanto en las sumas como en las multiplicaciones, su importancia fundamental subyace en el hecho de que en la suma y la multiplicación de números naturales, los números que posibilitan el conteo de los conjuntos finitos son conmutativas.

Podemos expresar lo anterior de manera general para cualquier número (x) y (y) pertenecientes a los números naturales:

  • Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x
  • Propiedad conmutativa de la multiplicación: x . y = y . x

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¿Cuándo no se cumple la propiedad conmutativa?

La propiedad conmutativa o conmutatividad no se cumple en la resta, la división, la potenciación y la radicación. La resta no es conmutativa, debido a que 1-2 por ejemplo no es igual a 2-1. En el primer caso el resultado es -1, y en el segundo caso el resultado es 1.

Que la división tampoco es conmutativa podemos comprobarlo al dividir ½, y obtener un resultado distinto cuando dividimos 2/1. En el primer caso el resultado es 0.5, y en el segundo el resultado es 2. Leer más