Recta tangente

Una recta tangente a​ una curva en un punto, es aquella recta que toca a la curva en un punto único (denominado punto de tangencia). En las cercanías del punto de tangencia el ángulo formado entre la recta y la curva es un ángulo nulo.

Recta tangente

En geometría la definición de recta tangente permite analizar la recta tangente a una curva o un círculo, y extender el estudio a figuras geométricas intersectadas con rectas en un único punto de contacto.

Qué es una recta tangente

Una recta tangente tiene un punto común a una curva donde se tocan. Este punto tiene la misma pendiente que la curva.

Esta es uno de los tipos de rectas que permiten determinar el punto de contacto con una curva. Ese punto de tangencia es un punto con exactitud de dibujo técnico que nos brinda el lugar preciso donde se tocan la recta y la curva.

Ecuación de la recta tangente

La ecuación de esta recta a la curva en el punto Xo es:

y = f'(Xo). x + b, siempre que la función sea derivable en Xo.

Esta ecuación cumple con la ecuación general de la recta: y = mx + b

Donde (X,Y) son el valor en el eje X y en el eje Y de puntos que pertenecen a la recta.

Como m es la pendiente de la recta, entonces para la ecuación de la recta tangente, la pendiente de la recta es la derivada de la función en el punto Xo

Y la b es el intercepto, (el valor que corresponde al corte con el eje y, es decir, donde x= 0).

Cómo calcular la pendiente de una recta tangente

En primer término, para calcular la ecuación de este tipo de recta, podemos utilizar la denominada ecuación punto-pendiente; (y – yo) = m (x – xo)

En este caso necesitamos conocer los valores de un punto P contenido en la recta, y que es el punto donde la recta es tangente a la curva: P(xo, yo)

Para conocer el valor de la coordenada Y del punto que pertenece a la recta tangente, sustituimos el valor conocido de X en la ecuación de la recta, así obtendremos el valor de Y del punto que pertenece a la recta tangente.

Además, la pendiente de esta recta en un punto de una función confluye con el valor de la derivada de la función en ese punto, y ya sabemos que la pendiente de la recta tangente es la derivada en ese punto;

Entonces la pendiente es: m = f´(Xo)

Se deriva la función de la curva y se sustituye por el valor de x en el punto donde tangente a la curva, para así obtener el valor de la pendiente.

Al conocer la pendiente m, podemos despejar X para determinar los valores del punto de tangencia (entre la recta y la curva).

Diferencia entre la recta tangente y la recta secante

La diferencia principal entre esta recta en estudio y una recta secante, que la primera, la recta toca en un único punto a la circunferencia, mientras que en secante, corta la circunferencia en dos puntos.

Ejemplos de recta tangente

Veamos un ejemplo numérico para hallar la ecuación de una recta tangente a una curva en el punto x= -1.

La ecuación de la curva es: f(X) = x⁴ – 3×2 ​+ 5
Utilicemos la ecuación punto-pendiente: (y – yo) = m (x – xo)

Necesitamos obtener las coordenadas del punto P, que será el punto donde la recta es tangente a la curva y la pendiente de la recta tangente: P (xo, yo)

Vamos a calcular las coordenadas del punto P. Para obtener el valor de Y del punto que forma parte de la recta, sustituimos el valor conocido de X (-1) en la ecuación de la recta, de este modo obtendremos el valor de Y que pertenece a la recta. Veamos la operación de sustitución y obtención del valor de Y:

F(-1) = (-1)4– 3 (-1)2+ 5 = 1 – 3 + 5 = 3

Entonces, ahora conocemos que la coordenada “y” es y= 3.

Por tanto, las coordenadas del punto P, donde la recta es tangente es: P (-1,3)

Ahora vamos a calcular la pendiente de la recta tangente, que será igual a la derivada de la función en el punto P, es decir, cuando x= -1

Para calcular la pendiente usamos esta fórmula: m = f´(Xo) = f´(-1)

Entonces, m = f´(X) = x⁴ – 3×2 ​+ 5

Obtenemos el valor de la derivada de la función para x= – 1

F´(X) = 4x³ – 6X

F´(-1) = 4(-1)3 – 6(-1) = -4 + 6 = 2

Entonces, la pendiente de la recta es igual a 2.

Ahora podemos calcular la ecuación de la recta: La pendiente m= 2 y el punto P(-1,3)

Con la ecuación punto-pendiente: (y – yo) = m (x – xo)

Obtenemos: (y-3) = 2 (x-(-1))

y – 3 = 2 (x+1)
y – 3 = 2X + 2
y = 2X + 5

Preguntas Frecuentes sobre Recta tangente

¿Cuál es la relación de la recta tangente con la recta secante?

La recta tangente corta una circunferencia en un punto, y la recta secante corta a la misma circunferencia en dos puntos, mientras más se acerquen estos puntos a la vez que su distancia se reduce a cero, la recta secante se transforma en una recta tangente, esta es justamente la relación entre ambas. Leer más

¿Cuál es la recta tangente a una circunferencia?

En geometría del plano, una recta tangente a una circunferencia es aquella que toca la circunferencia exactamente en un punto, sin formar parte de su interior. Leer más