Triángulo Rectángulo

El triángulo rectángulo representa un polígono compuesto por tres partes, el cual uno de sus ángulos es recto (α = 90º). Y sus dos ángulos inferiores (β y γ) suman 90º. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo a la derecha).

Qué es un triángulo rectángulo

El triángulo es un polígono que cuenta con tres lados. Cabe destacar que los polígonos son figuras planas delimitadas por segmentos. El triángulo, por lo tanto, es una figura plana compuesta por tres segmentos.
Cuando un triángulo dispone de un ángulo recto (que mide noventa grados), se lo clasifica como un triángulo rectángulo. Los otros dos ángulos del triángulo siempre son agudos (miden menos de noventa grados).

En el triángulo rectángulo el ángulo recto se encuentra estructurado por dos lados de menor longitud llamados catetos, sin embargo, el tercer lado y más largo es conocido como hipotenusa.

La hipotenusa según las propiedades del triángulo, generalmente es menor que la suma de los catetos. Cabe destacar que, esta (hipotenusa) abarca mayor longitud en el triángulo, que cualquiera de los dos lados restantes.

Las características de los triángulos rectángulos se basa en el teorema de pitágoras como se mencionó anteriormente, y no solo eso, el cuadrado de la hipotenusa resulta igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

De este modo, establece la siguiente ecuación para todo triángulo rectángulo:

Hipotenusa al cuadrado = Cateto al cuadrado + Cateto al cuadrado
Los triángulos rectángulos pueden representarse como triángulos isósceles rectángulos debido a que, los dos catetos tienen la misma extensión esto quiere decir que son iguales. También pueden ser triángulos escalenos rectángulos por la extensión de sus lados que son diferentes.

Por otra parte, al calcular el área de un triángulo rectángulo, se puede dirigir a la siguiente Regla en fórmula de triángulo rectángulo:

Área = (Cateto x Cateto) / 2
Es decir, que el punto principal de un triángulo es la relación entre sus lados y ángulos, este es esencial para el calculo y resolucion de un gran número de problemas, tanto en el campo de las matemáticas como en muchos otros.

La proyección ortogonal pertenece al ámbito de la geometría euclidiana, el cual estudia las propiedades geométricas de los espacios en los cuales se requieren los axiomas de Euclides, un grupo de proposiciones consideradas evidentes que pueden generar otras a través de deducciones lógicas. Para realizar una proyección ortogonal son necesarios dos elementos: un conjunto de puntos (que puede estar compuesto por uno solo); una recta de proyección. El primero se proyecta sobre la recta con ayuda de líneas auxiliares perpendiculares a ésta, de manera que las dimensiones resultantes sólo son corregidas en un caso y es cuando se proyecta un segmento paralelo a la recta.

Cómo dibujar un triángulo rectángulo

Los catetos representan la denominación de un triángulo rectángulo y para dibujarlo este debe ser visualizado con sus catetos, hay que tener en cuenta que estos dos catetos requieren estar sobre los lados de un ángulo recto.

Operación:

• Se coloca uno de los catetos (p. Ej., El b), sobre una recta r cualquiera .
• Sobre un extremo del cateto construido, se coloca una recta s, perpendicular a la recta r.
• Se traslada el segundo cateto c, sobre la recta s.
• Se unen los tres puntos (los de r y s junto con el de la intersección) y se obtiene el triángulo requerido.
• Para dibujar un triángulo rectángulo conocido con un cateto y el ángulo adyacente.
• Se trata de construir un triángulo rectángulo, determinado por uno de sus catetos y el ángulo adyacente.
• Es importante destacar que el ángulo que se da como dato es adyacente con el ángulo recto (ya que se trata de un triángulo rectángulo) y con respecto al cateto b.

Operaciones:

• Se coloca el cateto b sobre una recta r cualquiera.
• Sobre un extremo del cateto construido, se coloca una recta s perpendicular a la recta r.
• Sobre el otro extremo del cateto se construye el ángulo C y se prolonga su lado.
• Se debe trazar la figura, iniciando de los tres puntos. Obteniendo así el triángulo.
• Para dibujar un triángulo rectángulo conocido con un cateto y la hipotenusa.
• Aquí es fundamental ubicar la hipotenusa.

Operación:

• Se coloca la hipotenusa sobre una recta r cualquiera.
• Se encuentra el punto medio M de la hipotenusa.
• Desde el punto medio M, se traza una semicircunferencia que pase por los extremos de la hipotenusa.
• Se lleva la longitud del cateto c sobre uno de los extremos, cortando a la circunferencia en un punto.
• Se une este punto con los extremos de la hipotenusa y se obtiene el triángulo solicitado.
• Cómo calcular el área de un triángulo rectángulo
• Para hallar el área de un ángulo recto o paralelogramo, simplemente se multiplica la base por la altura. Dado que un triángulo es la mitad de un rectángulo o de un paralelogramo, entonces se debe encontrar la mitad de la base por la altura.
• Como ya se mencionó un triángulo rectángulo dispone de una estructura con un ángulo recto de 90°, por lo cual su altura se enlaza con uno de sus lados. Al construir un ángulo recto es prácticamente el 50% del área del triángulo rectángulo.

Cómo calcular el perímetro de un triángulo rectángulo

El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres lados. Así sea un triángulo rectángulo con los tres lados conocidos, siendo protocolos a = 3 cm, b = 4 cm y c = 5 cm. El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) y el perímetro se debe marcar a partir de los catetos (a y b).

El perímetro de cualquier Figura geométrica corresponde a la suma de la longitud de todos sus lados y para ello existen técnicas matemáticas que ayudan a hallarlo. En el caso de los triángulos, cabe destacar que el cálculo variará en función del tipo de triángulo, a continuación cómo calcular el perímetro de un triángulo, tanto si es isósceles, equilátero, escaleno y rectángulo.

Cuando se menciona triángulo equilátero se refiere que tiene la misma longitud en sus tres lados, por lo tanto, los ángulos tienen medidas iguales. Entonces, para obtener el perímetro de un triángulo equilátero, se debe multiplicar por tres el valor de la longitud de su lado:
P = 3 x l
Ejemplo: calcular el perímetro de un triángulo equilátero de 6 cm de lado.
P = 3 x 6 = 18 cm

Se puede decir que, son triángulos isósceles aquellos que en donde dos lados son iguales y uno distinto o diferente a estos, el cual es llamado base. Multiplicar por dos el valor del lado y sumarle la longitud de la base: (P = 2 x l + b), es necesario aplicar dicha fórmula para hallar el perímetro del triangulo rectangulo.

Ejemplo: calcular el perímetro de un triángulo isósceles los lados iguales miden 8 cm y la base 3 cm.
P = 2 x 8 + 3 = 16 + 3 = 19 cm.

En cuanto al triángulo escaleno es aquel que todos los lados son de diferentes tamaños. Entonces, se debe limitar a sumar el valor de las tres longitudes para obtener así el perímetro:
P = a + b + c
Por ejemplo si los valores de los lados de un triángulo escaleno son 5 cm, 8 cm y 10 cm, calcular su perímetro.
P = 5 + 8 + 10 = 23 cm

Clasificación del triángulo rectángulo

Isósceles

El triángulo rectángulo isósceles (ABC) y el punto (P) pertenecen a un plano que es proyectado cilindricamente sobre el papel. Hallar la proyección de la distancia del punto (P) a la mediana (mb).

La mediana mb es inmediata, la dificultad es determinar la dirección que es perpendicular a ella, dado que el triángulo está en una posición general, en el que no se ven los ángulos en verdadera magnitud.

Siendo un triángulo isósceles rectángulo (con ángulo recto en A), es sencillo construir un triángulo auxiliar que es semejante al dado. Con un arco capaz de 90º, y una perpendicular por el punto Ma se determina el triángulo A0BC. A partir de ese triángulo se puede determinar la mediana mb0, y su perpendicular por A0, que corta al lado BC en el punto G. Dada la semejanza entre los triángulos la recta AG determina la dirección perpendicular a mb en el espacio proyectado, y una perpendicular por el punto P que dará la solución pedida.

Características del triángulo isósceles

Las principales características del triángulo isósceles son las siguientes:

• Está formado por tres rectas, éstas rectas se cortan dos a dos.
• Los puntos en los que las rectas se logran encontrar se conocen con el nombre vértices.
• Cada segmento de recta del triángulo isósceles se rige como los lados del triángulo.
• Los dos lados contiguos que se encuentran en el triángulo isósceles dan origen al ángulo interior.
• El triángulo estará conformado por tres lados, por tres vértices, por tres ángulos interiores y por tres ángulos exteriores.

Propiedades

Dentro de las propiedades de los triángulos Isósceles están: los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. La bisectriz del ángulo que se encuentra opuesto a la base, corta a la base en su punto medio. La bisectriz concuerda siempre con la mediana del lado AB. La bisectriz del ángulo opuesto a la base es perpendicular a la base. La bisectriz concuerda con la altura correspondiente que tiene el lado AB.

El triángulo isósceles no solo tiene un par de lados iguales, además de esto presenta ciertas particularidades basada en la geometría, como es el caso de algunos cálculos desarrollados para la resolución de problemas. Cabe mencionar que, todo triángulo equilátero es también isósceles.

Elementos

En un triángulo isósceles, también existen diferentes elementos que forman parte de él, entre ellos se pueden mencionar:

• Bisectriz
• Mediatriz
• Mediana
• Altura

La altura (h) del triángulo isósceles puede ser calculada utilizando el teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y (h) forman un triángulo rectángulo, donde b/2 y h son catetos a la hipotenusa.
h2 + (b/2)2 = a2 → h2 + ( b2/4 ) = a2 → h2 = a2 – ( b2/4 )

Obteniendo luego otra fórmula que dice que la altura del triángulo isósceles es:
h = √( a2 – ( b2/4 ))

Área

A partir de la base b puede ser calculada el área del triángulo isósceles (el lado no repetido) y la altura (h) del triángulo correspondiente a la base. Entonces en este caso, el área es el producto de la base y la altura dividido por dos, siendo su fórmula la siguientes:

Área = b · √( a2 – ( b2/4 ) /2

Equilátero

Un triángulo equilátero es un polígono de tres lados, donde todos son igualesgeometría, porque están formados tres lados, tres ángulos y tres vértices. En el caso del triángulo equilátero, por tener lados iguales, implica que sus tres ángulos también lo serán.

Características de los triángulos equiláteros

• Lados iguales
• Los triángulos equiláteros son figuras planas y cerradas, compuestas por tres segmentos de rectas. Los triángulos son clasificados por sus características, en relación a sus lados y ángulos; el equilátero fue clasificado usando como parámetro la medida de sus lados, ya que estos son exactamente iguales, es decir, son congruentes.
• El triángulo equilátero es un caso particular del triángulo isósceles rectángulo debido a que dos de sus lados son congruentes. Por eso todos los triángulos equiláteros son también isósceles, pero no todos los triángulos isósceles serán equiláteros.
• De esa forma los triángulos equiláteros poseen las mismas propiedades de un triángulo isósceles.
• Los triángulos equiláteros también puede ser clasificados por la amplitud de sus ángulos internos como triángulo acutángulo equilátero, el cual tiene los tres lados y tres ángulos internos con la misma medida. Los ángulos serán agudos, es decir, serán menores a 90°.

Componentes

Los triángulos en general poseen varias rectas y puntos que lo componen. Son utilizados para calcular el área, los lados, los ángulos, la mediana, bisectriz, la mediatriz y la altura.

• La mediana: es una recta que sale desde el punto medio de un lado y llega al vértice opuesto. Las tres medianas concurren en un punto llamado baricentro o centroide.
• La bisectriz: es una semirrecta que divide el ángulo de los vértices en dos ángulos de igual medida, por eso es conocido como eje de simetría. El triángulo equilátero posee tres ejes de simetría. En el triángulo equilátero la bisectriz se traza desde el vértice de un ángulo hasta su lado opuesto, cortándolo en su punto medio. Estas concurren en punto llamado incentro.
• La mediatriz: es un segmento perpendicular al lado del triángulo que tiene origen en la mitad de este. Existen tres mediatrices en un triángulo y ellas concurren en un punto llamado circuncentro.
• La altura: es la recta que va desde el vértice hasta el lado que es opuesto y además esta recta es perpendicular a dicho lado. Todos los triángulos tienen tres alturas que coinciden en un punto llamado ortocentro.

Propiedades

La principal propiedad de los triángulos equiláteros, es que siempre serán triángulos isósceles, ya que los isósceles son formados por dos lados congruentes y los equiláteros por tres.
De esa forma, los triángulos equiláteros heredaron todas las propiedades del triángulo isósceles:

Ángulos Internos

La suma de los ángulos internos es siempre igual a 180°, y como todos sus ángulos son congruentes, entonces cada uno de estos va a medir 60°.

Ángulos Externos

La suma de los ángulos externos siempre será igual a 360°, por lo tanto cada ángulo externo va a medir 120°. Eso es debido a que los ángulos internos y externos son suplementarios, es decir, al sumarlos siempre serán iguales a 180°.

Suma de los lados

La suma de las medidas de dos lados siempre debe ser mayor que la medida del tercer lado, es decir; a + b > c, donde a, b y c son las medidas de cada lado.

Lados congruentes

Los triángulos equiláteros tienen sus tres lados con la misma medida o longitud; es decir, son congruentes. Por lo tanto, en el ítem anterior se tiene que a=b=c.

Ángulos congruentes

Los triángulos equiláteros son conocidos también como triángulos equiángulos, porque sus tres ángulos internos son congruentes unos con otros. Esto es debido a que todos sus lados también tienen la misma medida.

La bisectriz, la mediana y mediatriz son coincidentes, La bisectriz divide al lado de un triángulo en dos partes. En los triángulos equiláteros ese lado será dividido en dos partes exactamente iguales, es decir, el triángulo será dividido en dos triángulos rectángulos congruentes.

Así, la bisectriz trazada desde cualquier ángulo de un triángulo equilátero coincide con la mediana y la mediatriz del lado opuesto a ese ángulo.

Ejemplo: en la siguiente figura se observa el triángulo ABC con un punto medio D que divide a uno de sus lados en dos segmentos AD y BD.

• Al trazar una recta desde el punto D hasta el vértice opuesto, por definición se obtiene la mediana CD, que es relativa al vértice C y al lado AB.
• Al dividir el segmento CD con el triángulo ABC en dos triángulos similares CDB y CDA, se presentará una congruencia, por tal razón, CD también será la bisectriz de BCD.
• Al trazar el segmento CD, se divide el ángulo del vértice en dos ángulos iguales de 30°, el ángulo del vértice A sigue midiendo 60o y la recta CD forma un ángulo de 90° con respecto al punto medio D.

La estructuración de ángulos con la misma medida para los triángulos ADC y BDC es el resultado del segmento CD, esto quiere decir que, son suplementarios y la medida de cada uno es:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180°
Med. (ADC) = 180°
Med. (ADC) =180° ÷ 2
Med. (ADC) = 90°.